それでは、tan 18° = 0.324919…を算出するやり方について解き明かしていきます。
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は算出できます。
一方で、 θ=1°だと計算するのが非常に大変です
本記事では、tan 18° = 0.324919…になる理由を紹介します。
tan 18°を10桁確認
唐突ではありますが、tan 18°を10桁書いてみましょう！$$\tan 18° = 0.3249196962\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 18° = 0.324919…を求める
tan 18° = 0.324919…を求めるためにマクローリン展開を利用します。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインを算出できます。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 18°=0.314159…$$ $$\sin 18° = 0.309016…$$
$$\cos 18° = 0.951056…$$
サインとコサインを使って$\tan 18° = \displaystyle \frac{\sin 18°}{\cos 18°}$からtanを解くことができます。
$$\tan 18° = 0.324919…$$
120秒で振り返るtan 18°
本記事で明らかにした内容を120秒で振り返ることができる動画を作りました！
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