三角関数表のタンジェント表におけるtan18°の計算方法

それでは、tan 18° = 0.324919…を算出するやり方について解き明かしていきます。

θ30°45°60°90°
y0\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)1\(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は算出できます。
一方で、 θ=1°だと計算するのが非常に大変です

本記事では、tan 18° = 0.324919…になる理由を紹介します。

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tan 18°を10桁確認

唐突ではありますが、tan 18°を10桁書いてみましょう!$$\tan 18° = 0.3249196962\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 18° = 0.324919…を求める

tan 18° = 0.324919…を求めるためにマクローリン展開を利用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインを算出できます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 18°=0.314159…$$ $$\sin 18° = 0.309016…$$
$$\cos 18° = 0.951056…$$

サインとコサインを使って$\tan 18° = \displaystyle \frac{\sin 18°}{\cos 18°}$からtanを解くことができます。

$$\tan 18° = 0.324919…$$

120秒で振り返るtan 18°

本記事で明らかにした内容を120秒で振り返ることができる動画を作りました!

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