三角関数表のタンジェント表におけるtan2°|マクローリン展開で解く

このページでは、tan 2° = 0.03492…を三角関数表を使わずに求める方法について明らかにしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は具体的な値が算出できます。
しかし、中途半端なθ=1°だと計算するのが非常に大変です

そのため、tan 2° = 0.03492…を計算する方法を説明します。

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tan 2° を10桁書いてみる

まずは、tan 2°を10桁調べてみましょう!$$\tan 2° = 0.0349207694\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 2° = 0.03492…を算出する

tan 2° = 0.03492…を計算するためにマクローリン展開を駆使します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインが求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 2°=0.034906…$$ $$\sin 2° = 0.034899…$$
$$\cos 2° = 0.99939…$$

サインとコサインを使って$\tan 2° = \displaystyle \frac{\sin 2°}{\cos 2°}$からtanを算出できます。

$$\tan 2° = 0.03492…$$

tan 2°|120秒の復習動画

この記事で説明した内容を120秒で振り返ることができる動画を準備しました。

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