三角関数表のタンジェント表におけるtan20°の導出

それでは、tan 20° = 0.36397…を電卓で計算する手法について共有します。

θ30°45°60°90°
y0\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)1\(\sqrt{3}\)

上記のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は具体的な値が計算できます。
しかし、上記以外の数字であるθ=1°だと求めるのが困難です。

そのため、tan 20° = 0.36397…になる理由を説明します。

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10位目までtan 20°を書いてみる

早速ですが、tan 20°を10桁表してみましょう!$$\tan 20° = 0.3639702342\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 20° = 0.36397…を計算する

tan 20° = 0.36397…を解くためにマクローリン展開を利用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入して計算するとサインとコサインを算出できます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 20°=0.349065…$$ $$\sin 20° = 0.34202…$$
$$\cos 20° = 0.939692…$$

この2つの値を使うことで、$\tan 20° = \displaystyle \frac{\sin 20°}{\cos 20°}$からtanを計算できます。

$$\tan 20° = 0.36397…$$

tan 20°を復習できる動画

本記事で説明した内容を120秒で復習できる動画を用意しました。

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