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三角関数表のタンジェントの表におけるtan218°の導出

それでは、tan 218° = 0.781285…を計算する方法について解き明かしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が算出できます。
ですが、中途半端なθ=1°だと求めるのが非常に大変です

そこで、tan 218° = 0.781285…になる理由を解説します。

10位目までtan 218°を表す

まずは、tan 218°を10桁調べてみましょう!$$\tan 218° = 0.7812856265\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 218° = 0.781285…を明らかにする

tan 218° = 0.781285…を解くためにマクローリン展開を活用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインの値が求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 218°=3.804817…$$ $$\sin 218° = -0.615662…$$
$$\cos 218° = -0.788011…$$

サインとコサインの値から$\tan 218° = \displaystyle \frac{\sin 218°}{\cos 218°}$からtanを算出できます。

$$\tan 218° = 0.781285…$$

120秒の復習動画|tan 218°

本記事で解説した内容を120秒で復習できる動画を作りました!よかったら、参考にしてください!

(誠意作成中)

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