三角関数表のタンジェント表におけるtan22°を導出する

それでは、tan 22° = 0.404026…を算出する手法について共有します。

θ30°45°60°90°
y0\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)1\(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が算出できます。
ですが、上記以外の数字であるθ=1°だと求めるのが難しいです。

そこで、tan 22° = 0.404026…になる理由を解説します。

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10位目までtan 22°を調べる

早速ですが、tan 22°を10桁書いてみましょう!$$\tan 22° = 0.4040262258\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 22° = 0.404026…を算出する

tan 22° = 0.404026…を求めるためにマクローリン展開を使います。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れて計算するとサインとコサインを算出できます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 22°=0.383972…$$ $$\sin 22° = 0.374606…$$
$$\cos 22° = 0.927183…$$

この2つの値を使うことで、$\tan 22° = \displaystyle \frac{\sin 22°}{\cos 22°}$からtanを求められます。

$$\tan 22° = 0.404026…$$

tan 22°を復習できる動画

このページで説明した内容を120秒で確認できる動画を用意しました。

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