三角関数表のタンジェントの表におけるtan220°を簡単導出!

今回は、tan 220° = 0.839099…を三角関数表を使わずに求める処理方法について明らかにしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

上記のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が計算できます。
ですが、 θ=1°だと計算するのが非常に大変です

そこで、tan 220° = 0.839099…になる理由を説明します。

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10桁のtan 220°を書いてみる

初めに、tan 220°を10桁書いてみましょう!$$\tan 220° = 0.8390996311\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 220° = 0.839099…を計算する

tan 220° = 0.839099…を解くためにマクローリン展開をうまく使う必要があります。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入して計算するとサインとコサインの値が出ます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 220°=3.839724…$$ $$\sin 220° = -0.642788…$$
$$\cos 220° = -0.766045…$$

サインとコサインを使って$\tan 220° = \displaystyle \frac{\sin 220°}{\cos 220°}$からtanを求めることができます。

$$\tan 220° = 0.839099…$$

120秒で振り返るtan 220°

本記事で説明した内容を120秒で復習できる動画を準備しました。よかったら、参考にしてください!

(誠意作成中)

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