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三角関数表のタンジェントの表におけるtan235°の導出

それでは、tan 235° = 1.428148…を三角関数表を使わずに求めるやり方について説明します。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

上記のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は算出できます。
ですが、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$以外であるθ=1°だとタンジェントの計算が難しいです。

そこで、tan 235° = 1.428148…になる理由を解説します。

10桁のtan 235°を調べる

早速ですが、tan 235°を10桁確認してみましょう!$$\tan 235° = 1.4281480067\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 235° = 1.428148…を明らかにする

tan 235° = 1.428148…を求めるためにマクローリン展開を駆使します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインを算出できます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 235°=4.101523…$$ $$\sin 235° = -0.819153…$$
$$\cos 235° = -0.573577…$$

これを利用して、$\tan 235° = \displaystyle \frac{\sin 235°}{\cos 235°}$からtanを算出できます。

$$\tan 235° = 1.428148…$$

tan 235°の解説動画

このページで解説した内容を120秒で復習できる動画を用意しました。よかったら、参考にしてください!

(誠意作成中)

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