三角関数表のタンジェント表におけるtan27°を簡単導出!

本解説では、tan 27° = 0.509525…を求める方法について解説していきます。

θ30°45°60°90°
y0\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)1\(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は算出できます。
一方で、 θ=1°だと求めるのが非常に大変です

本記事では、tan 27° = 0.509525…になる理由を解説します。

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10桁のtan 27°を確認

唐突ではありますが、tan 27°を10桁表してみましょう!$$\tan 27° = 0.5095254494\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 27° = 0.509525…を計算する

tan 27° = 0.509525…を求めるためにマクローリン展開を駆使します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインの値が出ます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 27°=0.471238…$$ $$\sin 27° = 0.45399…$$
$$\cos 27° = 0.891006…$$

そして、$\tan 27° = \displaystyle \frac{\sin 27°}{\cos 27°}$からtanを求められます。

$$\tan 27° = 0.509525…$$

120秒で振り返るtan 27°

このページで明らかにした内容を120秒で確認できる動画を用意しました。

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