三角関数表のタンジェント表におけるtan28°を簡単導出!

このページでは、tan 28° = 0.531709…を算出する方法について共有します。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

表で表す通り、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は具体的な値が算出できます。
しかし、上記以外の数字であるθ=1°だとタンジェントの計算が非常に大変です

そのため、tan 28° = 0.531709…となる計算について紹介します。

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10位目までtan 28°を確認

早速ですが、tan 28°を10桁表してみましょう!$$\tan 28° = 0.5317094316\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 28° = 0.531709…を求める

tan 28° = 0.531709…を解くためにマクローリン展開を活用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインの値が求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 28°=0.488692…$$ $$\sin 28° = 0.469471…$$
$$\cos 28° = 0.882947…$$

サインとコサインを使って$\tan 28° = \displaystyle \frac{\sin 28°}{\cos 28°}$からtanを解くことができます。

$$\tan 28° = 0.531709…$$

tan 28°を復習できる動画

本記事で紹介した内容を120秒で確認できる動画を準備しました。

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