三角関数表のタンジェント表におけるtan37°を導出する

それでは、tan 37° = 0.753554…を三角関数表を使わずに求める仕方について解説していきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は計算できます。
ですが、上記以外の数字であるθ=1°だと計算するのが非常に大変です

そこで、tan 37° = 0.753554…になる理由を紹介します。

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10桁のtan 37°を確認

早速ですが、tan 37°を10桁調べてみましょう!$$\tan 37° = 0.7535540501\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 37° = 0.753554…を求める

tan 37° = 0.753554…を解くためにマクローリン展開を使います。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れて計算するとサインとコサインの値が出ます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 37°=0.645771…$$ $$\sin 37° = 0.601815…$$
$$\cos 37° = 0.798635…$$

そして、$\tan 37° = \displaystyle \frac{\sin 37°}{\cos 37°}$からtanを求められます。

$$\tan 37° = 0.753554…$$

120秒の復習動画|tan 37°

今回紹介した内容を120秒で振り返ることができる動画を作りました!

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