三角関数表のタンジェント表におけるtan40°を簡単導出!

今回は、tan 40° = 0.839099…を算出する方法について共有します。

θ30°45°60°90°
y0\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)1\(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が算出できます。
ですが、 θ=1°だとタンジェントの計算が困難です。

そのため、tan 40° = 0.839099…になる理由を紹介します。

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10桁のtan 40°を表す

唐突ではありますが、tan 40°を10桁表してみましょう!$$\tan 40° = 0.8390996311\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 40° = 0.839099…を算出する

tan 40° = 0.839099…を算出するためにマクローリン展開を活用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入して計算するとサインとコサインの値が求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 40°=0.698131…$$ $$\sin 40° = 0.642787…$$
$$\cos 40° = 0.766044…$$

この2つの値を使うことで、$\tan 40° = \displaystyle \frac{\sin 40°}{\cos 40°}$からtanを求めることができます。

$$\tan 40° = 0.839099…$$

tan 40°を復習できる動画

本記事で明らかにした内容を120秒で振り返ることができる動画を準備しました。

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