三角関数表のタンジェント表におけるtan42°を求める方法

この記事では、tan 42° = 0.900404…を算出する仕方について解き明かしていきます。

θ30°45°60°90°
y0\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)1\(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は求まります。
しかし、 θ=1°だと計算するのが困難です。

そこで、tan 42° = 0.900404…になる理由を説明します。

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tan 42°を10桁表す

唐突ではありますが、tan 42°を10桁調べてみましょう!$$\tan 42° = 0.9004040442\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 42° = 0.900404…を求める

tan 42° = 0.900404…を算出するためにマクローリン展開を利用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れて計算するとサインとコサインの値が求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 42°=0.733038…$$ $$\sin 42° = 0.66913…$$
$$\cos 42° = 0.743144…$$

この2つの値を使うことで、$\tan 42° = \displaystyle \frac{\sin 42°}{\cos 42°}$からtanを解くことができます。

$$\tan 42° = 0.900404…$$

tan 42°を復習できる動画

この記事で解説した内容を120秒で確認できる動画を作りました!

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