三角関数表のタンジェント表におけるtan46°|マクローリン展開で解く

今回は、tan 46° = 1.03553…を電卓で計算する処理方法について解き明かしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

上記のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は具体的な値が計算できます。
一方で、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$以外であるθ=1°だとタンジェントの計算が非常に大変です

そのため、tan 46° = 1.03553…になる理由を紹介します。

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tan 46° を10桁確認

初めに、tan 46°を10桁書いてみましょう!$$\tan 46° = 1.0355303137\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 46° = 1.03553…を算出する

tan 46° = 1.03553…を求めるためにマクローリン展開を使います。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインが求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 46°=0.802851…$$ $$\sin 46° = 0.719339…$$
$$\cos 46° = 0.694658…$$

この2つの値を使うことで、$\tan 46° = \displaystyle \frac{\sin 46°}{\cos 46°}$からtanを計算できます。

$$\tan 46° = 1.03553…$$

tan 46°の解説動画

この記事で解説した内容を120秒で確認できる動画を作りました!

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