三角関数表のタンジェント表におけるtan49°を求める方法

このページでは、tan 49° = 1.150368…を三角関数表を使わずに求める仕方について解き明かしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は算出できます。
しかし、上記以外の数字であるθ=1°だと計算するのが難しいです。

そこで、tan 49° = 1.150368…になる理由を説明します。

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tan 49° を10桁確認

唐突ではありますが、tan 49°を10桁書いてみましょう!$$\tan 49° = 1.1503684072\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 49° = 1.150368…を明らかにする

tan 49° = 1.150368…を求めるためにマクローリン展開を使います。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインを求められらます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 49°=0.855211…$$ $$\sin 49° = 0.754709…$$
$$\cos 49° = 0.656059…$$

サインとコサインの値から$\tan 49° = \displaystyle \frac{\sin 49°}{\cos 49°}$からtanを解くことができます。

$$\tan 49° = 1.150368…$$

120秒で振り返るtan 49°

このページで明らかにした内容を120秒で振り返ることができる動画を作りました!

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