三角関数表のタンジェント表におけるtan5°を解く

このページでは、tan 5° = 0.087488…を計算する方法について説明します。

θ30°45°60°90°
y0\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)1\(\sqrt{3}\)

上記のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は計算できます。
一方で、上記以外の数字であるθ=1°だとタンジェントの計算が非常に大変です

そこで、tan 5° = 0.087488…になる理由を解説します。

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10位目までtan 5°を調べる

まずは、tan 5°を10桁確認してみましょう!$$\tan 5° = 0.0874886635\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 5° = 0.087488…を計算する

tan 5° = 0.087488…を解くためにマクローリン展開を駆使します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインの値が求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 5°=0.087266…$$ $$\sin 5° = 0.087155…$$
$$\cos 5° = 0.996194…$$

これを利用して、$\tan 5° = \displaystyle \frac{\sin 5°}{\cos 5°}$からtanを計算できます。

$$\tan 5° = 0.087488…$$

tan 5°を復習できる動画

この記事で説明した内容を120秒で復習できる動画を作りました!

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