三角関数表のタンジェント表におけるtan51°|マクローリン展開で解く

このページでは、tan 51° = 1.234897…を算出する手法について解き明かしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は具体的な値が算出できます。
しかし、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$以外であるθ=1°だと計算するのが難しいです。

そこで、tan 51° = 1.234897…になる理由を解説します。

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10桁のtan 51°を表す

早速ですが、tan 51°を10桁書いてみましょう!$$\tan 51° = 1.2348971565\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 51° = 1.234897…を計算する

tan 51° = 1.234897…を解くためにマクローリン展開をうまく使う必要があります。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインの値が出ます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 51°=0.890117…$$ $$\sin 51° = 0.777145…$$
$$\cos 51° = 0.62932…$$

これを利用して、$\tan 51° = \displaystyle \frac{\sin 51°}{\cos 51°}$からtanを算出できます。

$$\tan 51° = 1.234897…$$

120秒で振り返るtan 51°

今回明らかにした内容を120秒で振り返ることができる動画を準備しました。

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