三角関数表のタンジェント表におけるtan59°の導出

このページでは、tan 59° = 1.664279…を電卓で計算する方法について解き明かしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は具体的な値が算出できます。
しかし、 θ=1°だとタンジェントの計算が難しいです。

本記事では、tan 59° = 1.664279…となる計算について紹介します。

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10位目までtan 59°を表す

初めに、tan 59°を10桁調べてみましょう!$$\tan 59° = 1.6642794823\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 59° = 1.664279…を算出する

tan 59° = 1.664279…を求めるためにマクローリン展開を活用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入して計算するとサインとコサインの値が出ます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 59°=1.029744…$$ $$\sin 59° = 0.857167…$$
$$\cos 59° = 0.515038…$$

サインとコサインを使って$\tan 59° = \displaystyle \frac{\sin 59°}{\cos 59°}$からtanを求めることができます。

$$\tan 59° = 1.664279…$$

tan 59°|120秒の復習動画

このページで紹介した内容を120秒で復習できる動画を作りました!

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