三角関数表のタンジェント表におけるtan60°の導出

今回は、tan 60° = 1.73205…を算出するやり方について解き明かしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

上記のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は具体的な値が求まります。
一方で、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$以外であるθ=1°だと求めるのが難しいです。

本記事では、tan 60° = 1.73205…を計算する方法を紹介します。

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10桁のtan 60°を確認

最初に、tan 60°を10桁調べてみましょう!$$\tan 60° = 1.7320508075\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 60° = 1.73205…を算出する

tan 60° = 1.73205…を計算するためにマクローリン展開を利用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインを算出できます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 60°=1.047197…$$ $$\sin 60° = 0.866025…$$
$$\cos 60° = 0.5…$$

サインとコサインの値から$\tan 60° = \displaystyle \frac{\sin 60°}{\cos 60°}$からtanを解くことができます。

$$\tan 60° = 1.73205…$$

tan 60°の解説動画

この記事で説明した内容を120秒で振り返ることができる動画を作りました!

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