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三角関数表のタンジェント表におけるtan69°を導出する

それでは、tan 69° = 2.605089…を三角関数表を使わずに求める方法について共有します。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は算出できます。
しかし、 θ=1°だと計算するのが困難です。

本記事では、tan 69° = 2.605089…を計算する方法を説明します。

10位目までtan 69°を確認

唐突ではありますが、tan 69°を10桁表してみましょう!$$\tan 69° = 2.6050890646\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 69° = 2.605089…を解く

tan 69° = 2.605089…を算出するためにマクローリン展開をうまく使う必要があります。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインの値が出ます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 69°=1.204277…$$ $$\sin 69° = 0.93358…$$
$$\cos 69° = 0.358367…$$

そして、$\tan 69° = \displaystyle \frac{\sin 69°}{\cos 69°}$からtanを解くことができます。

$$\tan 69° = 2.605089…$$

tan 69°の解説動画

本記事で紹介した内容を120秒で復習できる動画を用意しました。

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