三角関数表のタンジェント表におけるtan80°を簡単導出!

この記事では、tan 80° = 5.671281…を計算するやり方について明らかにしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は求まります。
しかし、上記以外の数字であるθ=1°だとタンジェントの計算が難しいです。

そのため、tan 80° = 5.671281…を計算する方法を解説します。

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tan 80°を10桁書いてみる

唐突ではありますが、tan 80°を10桁調べてみましょう!$$\tan 80° = 5.6712818196\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 80° = 5.671281…を計算する

tan 80° = 5.671281…を求めるためにマクローリン展開を駆使します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れて計算するとサインとコサインを算出できます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 80°=1.396263…$$ $$\sin 80° = 0.984807…$$
$$\cos 80° = 0.173648…$$

そして、$\tan 80° = \displaystyle \frac{\sin 80°}{\cos 80°}$からtanを求められます。

$$\tan 80° = 5.671281…$$

120秒で振り返るtan 80°

このページで明らかにした内容を120秒で復習できる動画を作りました!

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