三角関数表のタンジェント表におけるtan82°を解く

このページでは、tan 82° = 7.115369…を計算する仕方について解き明かしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は具体的な値が求まります。
ですが、中途半端なθ=1°だと求めるのが困難です。

そのため、tan 82° = 7.115369…になる理由を解説します。

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tan 82°を10桁書いてみる

まずは、tan 82°を10桁表してみましょう!$$\tan 82° = 7.1153697223\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 82° = 7.115369…を算出する

tan 82° = 7.115369…を計算するためにマクローリン展開を利用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインが求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 82°=1.431169…$$ $$\sin 82° = 0.990268…$$
$$\cos 82° = 0.139173…$$

サインとコサインを使って$\tan 82° = \displaystyle \frac{\sin 82°}{\cos 82°}$からtanを算出できます。

$$\tan 82° = 7.115369…$$

120秒の復習動画|tan 82°

今回説明した内容を120秒で確認できる動画を用意しました。

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