三角関数表のタンジェント表におけるtan84°の求め方

今回は、tan 84° = 9.514364…を三角関数表を使わずに求める仕方について共有します。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が算出できます。
しかし、中途半端なθ=1°だと計算するのが非常に大変です

本記事では、tan 84° = 9.514364…になる理由を解説します。

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tan 84° を10桁確認

唐突ではありますが、tan 84°を10桁確認してみましょう!$$\tan 84° = 9.5143644542\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 84° = 9.514364…を計算する

tan 84° = 9.514364…を計算するためにマクローリン展開をうまく使う必要があります。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入して計算するとサインとコサインを算出できます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 84°=1.466076…$$ $$\sin 84° = 0.994521…$$
$$\cos 84° = 0.104528…$$

サインとコサインを使って$\tan 84° = \displaystyle \frac{\sin 84°}{\cos 84°}$からtanを求めることができます。

$$\tan 84° = 9.514364…$$

tan 84°を復習できる動画

この記事で説明した内容を120秒で振り返ることができる動画を作りました!

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