三角関数表のタンジェント表におけるtan85°を求める方法

この記事では、tan 85° = 11.430052…を計算する手法について明らかにしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は具体的な値が算出できます。
しかし、上記以外の数字であるθ=1°だと求めるのが難しいです。

本記事では、tan 85° = 11.430052…になる理由を説明します。

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10桁のtan 85°を確認

唐突ではありますが、tan 85°を10桁表してみましょう!$$\tan 85° = 11.4300523027\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 85° = 11.430052…を算出する

tan 85° = 11.430052…を求めるためにマクローリン展開をうまく使う必要があります。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入して計算するとサインとコサインを算出できます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 85°=1.483529…$$ $$\sin 85° = 0.996194…$$
$$\cos 85° = 0.087155…$$

これを利用して、$\tan 85° = \displaystyle \frac{\sin 85°}{\cos 85°}$からtanを解くことができます。

$$\tan 85° = 11.430052…$$

120秒の復習動画|tan 85°

このページで解説した内容を120秒で確認できる動画を準備しました。

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