三角関数表のタンジェント表におけるtan89°を導出する

この記事では、tan 89° = 57.289961…を求める処理方法について解説していきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

表で表す通り、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は算出できます。
一方で、上記以外の数字であるθ=1°だとタンジェントの計算が困難です。

本記事では、tan 89° = 57.289961…になる理由を説明します。

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tan 89° を10桁表す

唐突ではありますが、tan 89°を10桁表してみましょう!$$\tan 89° = 57.2899616307\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 89° = 57.289961…を算出する

tan 89° = 57.289961…を求めるためにマクローリン展開を活用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れて計算するとサインとコサインが求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 89°=1.553343…$$ $$\sin 89° = 0.999847…$$
$$\cos 89° = 0.017452…$$

これを利用して、$\tan 89° = \displaystyle \frac{\sin 89°}{\cos 89°}$からtanを算出できます。

$$\tan 89° = 57.289961…$$

tan 89°を復習できる動画

本記事で解説した内容を120秒で復習できる動画を作りました!

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