三角関数表のタンジェント表におけるtan9°を求める方法

このページでは、tan 9° = 0.158384…を計算する方法について解き明かしていきます。

θ30°45°60°90°
y0\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)1\(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が求まります。
一方で、 θ=1°だと求めるのが困難です。

そのため、tan 9° = 0.158384…を計算する方法を紹介します。

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tan 9°を10桁調べる

唐突ではありますが、tan 9°を10桁調べてみましょう!$$\tan 9° = 0.1583844403\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 9° = 0.158384…を算出する

tan 9° = 0.158384…を解くためにマクローリン展開をうまく使う必要があります。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れて計算するとサインとコサインの値が出ます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 9°=0.157079…$$ $$\sin 9° = 0.156434…$$
$$\cos 9° = 0.987688…$$

サインとコサインの値から$\tan 9° = \displaystyle \frac{\sin 9°}{\cos 9°}$からtanを求めることができます。

$$\tan 9° = 0.158384…$$

tan 9°を復習できる動画

本記事で紹介した内容を120秒で復習できる動画を作りました!

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