今回は、tan 15° = 0.267949…を求める処理方法について共有します。
θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が算出できます。
ですが、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$以外であるθ=1°だと求めるのが困難です。
そこで、tan 15° = 0.267949…になる理由を説明します。
10桁のtan 15°を確認
唐突ではありますが、tan 15°を10桁表してみましょう!$$\tan 15° = 0.2679491924\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 15° = 0.267949…を計算する
tan 15° = 0.267949…を求めるためにマクローリン展開を利用します。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインを求められらます。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 15°=0.261799…$$ $$\sin 15° = 0.258819…$$
$$\cos 15° = 0.965925…$$
この2つの値を使うことで、$\tan 15° = \displaystyle \frac{\sin 15°}{\cos 15°}$からtanを算出できます。
$$\tan 15° = 0.267949…$$
tan 15°を復習できる動画
このページで紹介した内容を120秒で振り返ることができる動画を用意しました。
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