本解説では、tan 27° = 0.509525…を求める方法について解説していきます。
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は算出できます。
一方で、 θ=1°だと求めるのが非常に大変です
本記事では、tan 27° = 0.509525…になる理由を解説します。
10桁のtan 27°を確認
唐突ではありますが、tan 27°を10桁表してみましょう！$$\tan 27° = 0.5095254494\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 27° = 0.509525…を計算する
tan 27° = 0.509525…を求めるためにマクローリン展開を駆使します。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインの値が出ます。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 27°=0.471238…$$ $$\sin 27° = 0.45399…$$
$$\cos 27° = 0.891006…$$
そして、$\tan 27° = \displaystyle \frac{\sin 27°}{\cos 27°}$からtanを求められます。
$$\tan 27° = 0.509525…$$
120秒で振り返るtan 27°
このページで明らかにした内容を120秒で確認できる動画を用意しました。
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