今回は、tan 30° = 0.57735…を求める仕方について説明します。
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
表で表す通り、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が計算できます。
ですが、 θ=1°だと計算するのが困難です。
本記事では、tan 30° = 0.57735…になる理由を解説します。
10位目までtan 30°を表す
早速ですが、tan 30°を10桁書いてみましょう！$$\tan 30° = 0.5773502691\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 30° = 0.57735…を計算する
tan 30° = 0.57735…を求めるためにマクローリン展開を利用します。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を入れて計算するとサインとコサインが求まります。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 30°=0.523598…$$ $$\sin 30° = 0.499999…$$
$$\cos 30° = 0.866025…$$
サインとコサインを使って$\tan 30° = \displaystyle \frac{\sin 30°}{\cos 30°}$からtanを求めることができます。
$$\tan 30° = 0.57735…$$
tan 30°を復習できる動画
今回解説した内容を120秒で復習できる動画を用意しました。
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