本解説では、tan 65° = 2.144506…を三角関数表を使わずに求める仕方について共有します。
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
上記のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が求まります。
一方で、上記以外の数字であるθ=1°だと求めるのが困難です。
本記事では、tan 65° = 2.144506…になる理由を紹介します。
tan 65° を10桁表す
唐突ではありますが、tan 65°を10桁確認してみましょう！$$\tan 65° = 2.1445069205\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 65° = 2.144506…を算出する
tan 65° = 2.144506…を算出するためにマクローリン展開をうまく使う必要があります。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を代入して計算するとサインとコサインを算出できます。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 65°=1.134464…$$ $$\sin 65° = 0.906307…$$
$$\cos 65° = 0.422618…$$
サインとコサインを使って$\tan 65° = \displaystyle \frac{\sin 65°}{\cos 65°}$からtanを求めることができます。
$$\tan 65° = 2.144506…$$
120秒で振り返るtan 65°
この記事で解説した内容を120秒で振り返ることができる動画を準備しました。
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