それでは、tan 69° = 2.605089…を三角関数表を使わずに求める方法について共有します。
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は算出できます。
しかし、 θ=1°だと計算するのが困難です。
本記事では、tan 69° = 2.605089…を計算する方法を説明します。
10位目までtan 69°を確認
唐突ではありますが、tan 69°を10桁表してみましょう！$$\tan 69° = 2.6050890646\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 69° = 2.605089…を解く
tan 69° = 2.605089…を算出するためにマクローリン展開をうまく使う必要があります。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインの値が出ます。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 69°=1.204277…$$ $$\sin 69° = 0.93358…$$
$$\cos 69° = 0.358367…$$
そして、$\tan 69° = \displaystyle \frac{\sin 69°}{\cos 69°}$からtanを解くことができます。
$$\tan 69° = 2.605089…$$
tan 69°の解説動画
本記事で紹介した内容を120秒で復習できる動画を用意しました。
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