一次関数の「変化の割合」の求め方

一次関数の変化の割合は、一次関数の傾きを表すため非常に重要です。
この記事では、そんな重要な一次関数の変化の割合の求め方を解説していきます。

変化の割合がマイナスになる場合や、分数になる場合も解説します。

 

最後には練習問題も準備しています。

ぜひ最後まで読んでいってください。

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士で物理学者の僕が解説します!
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変化の割合とは

一次関数_変化の割合とは

一次関数における変化の割合は、xが増えた(減った)ときにyがどのくらい増えた(減った)かの割合を表すものです。

次の式で変化の割合は求められます。

$$変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$$

例えば、お風呂に水を入れるとします。
水を入れる時間をx分、入れた量をyリットルとします。

5分間で20リットルの水が入りました。
この時の変化の割合は、

$$変化の割合=\displaystyle \frac{20リットル}{5分}$$

変化の割合は、4となります。

変化の割合は一次関数の傾きになる

一次関数_変化の割合と式の関係

一次関数の式は、\(y=ax+b\) という式です。

\(a=傾き、変化の割合\)
\(b=切片\)

を表します。

一次関数の場合は、「傾き=変化の割合」になります。
bの切片は、問題の中で固定された数を表します。

例えば、さきほどと同じようにお風呂に水を入れる問題で考えてみます。

最初から20リットルの水が入っている場合、何分経過しても「最初に水が20リットルあった」という事実は変わりません。

このように元からあった数字を切片として考えます。

変化の割合が4、切片が20である時、\(y=ax+b\)の式で\(a=4,\ b=20\)なので一次関数の式は\(y=4x+20\)となります。

変化の割合の求め方

一次関数_変化の割合_求め方

変化の割合は、

$$変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$$

で求められますね。

\(x\)と\(y\)の増加量を求めるには「\(変化後-変化前\)」で求めるようにしましょう。

例えば、
(変化前):\(xが3\)のとき\(yが60\)
(変化後):\(xが5\)のとき\(yが80\)になる場合。

xの増加量は、「\(5-3\)」で\(2\)となります。

yの増加量は、「\(80-60\)」で\(20\)となります。

この場合の変化の割合は

$$変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}=\displaystyle \frac{5-3}{80-60}=\displaystyle \frac{2}{20}=\displaystyle \frac{1}{10}$$

 になります。

変化の割合はマイナスにもなる

変化の割合(=傾き)は、マイナスになる場合もあります。

お風呂に水が\(100\)リットル入っているとします。
お風呂の栓を抜いて、水を抜いていきます。

\(x\)分後の水の量を\(y\)リットルとします。
2分後の水の量が、80リットルで、
6分後の水の量が、20リットルでした。

この時の変化の割合は、
xの増加量は、「\(6-2\)」で\(4\)となります。
yの増加量は、「\(20-80\)」で\(-60\)となります。

以上より変化の割合は 

$$変化の割合=\displaystyle \frac{-60}{4}=-15$$

になります。

変化の割合は、分数になる場合もある

さらに変化の割合は、分数になる場合もあります。
もう一度お風呂に水を入れていく場合を考えます。

x分後の水の量をyリットルとします。
4分後の水の量が、50リットル
10分後の水の量が、90リットルでした。

この時の変化の割合を考えます。

xの増加量は、「\(10-4\)」で\(6\)となります。
yの増加量は、「\(90-50\)」で\(40\)となります。

変化の割合は

$$変化の割合=\displaystyle \frac{40}{6}=\displaystyle \frac{20}{3}$$

となります。
分数になる場合は、最後まで約分することを忘れないでくださいね。

変化の割合を求める問題

式の傾きから求める問題

問題

次の一次関数の変化の割合を求めなさい。

①    \(y=3x+5\)

②    \(y=-9x+10\)

③    \(y=\displaystyle \frac{1}{4}-8\)

解答

① \(3\)

②   \(-9\)

③   \(\displaystyle \frac{1}{4}\)

解説

実は、この3つの式はすでに変化の割合が書かれているんです。
一次関数では、「傾き=変化の割合」でした。

ですので、①の式の傾きは3、変化の割合も同じく3です。

同様に②だと\(-9\), ③だと\(\displaystyle \frac{1}{4}\)になります。

増加量から求める問題

問題

・yはxの一次関数です。変化の割合を求めなさい。

④    x=3のときy=2、x=8のときy=22

⑤    x=6のときy=35、x=15のときy=29

⑥    x=12のときy=5、x=4のときy=25

解答

いずれの問題も
\(変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}\)

に数値を入れて求めます。

解答と解説

④ 4
\(\displaystyle \frac{22-2}{8-3}=\displaystyle \frac{20}{5}=4\)

⑤ \(-\displaystyle \frac{2}{3}\)

\(\displaystyle \frac{29-35}{15-6}=-\displaystyle \frac{6}{9}=-\displaystyle \frac{2}{3}\)

⑥ \(-\displaystyle \frac{5}{2}\)

\(\displaystyle \frac{25-5}{4-12}=-\displaystyle \frac{20}{8}=-\displaystyle \frac{5}{2}\)

まとめ

一次関数の変化の割合は、

$$変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$$

で求められます。

変化の割合は、-(マイナス)になることや分数になることもあります。
落ち着いて計算をしていきましょう。

一次関数の式は、\(y=ax+b\)です。

\(a\)は傾きですが、一次関数の場合だと変化の割合と同じです。

一次関数の式がわかっていて変化の割合を求める問題は、答えがすでに書いてあるのと同じことになります。

一次関数の問題は複雑なものもたくさんありますが、変化の割合を正確に求めることからスタートする場合が多いです。

丁寧に処理していってくださいね。

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