因数分解公式(3乗)

3乗の因数分解公式は以下の5つです。

\begin{eqnarray}
&①&a^3+b^3&=&(a+b)(a^2-ab+b^2)\\
&②&a^3-b^3&=&(a-b)(a^2+ab+b^2)\\
&③&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3&=&(a+b)^3\\
&④&a^3-3a^2b+3ab^2-b^3&=&(a-b)^3\\
&⑤&a^3+b^3+c^3-3abc
&=&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{eqnarray}

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因数分解公式(3乗)の証明

因数分解公式の証明は右辺を展開すれば証明できます。

因数分解公式①の証明

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)

\begin{eqnarray}
& &(a+b)(a^2-ab+b^2)\\
&=& a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\\
&=&a^3+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)+b^3\\
&=&a^3+b^3\end{eqnarray}

証明終了

因数分解公式②の証明

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

\begin{eqnarray}
& &(a-b)(a^2+ab+b^2)\\
&=& a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\\
&=&a^3+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)+b^3\\
&=&a^3+b^3\end{eqnarray}

証明終了

因数分解公式③の証明

\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\)

\begin{eqnarray}
& &(a+b)^3\\
&=&(a+b)(a+b)(a+b)\\
&=&(a+b)(a^2+2ab+b^2)\\
&=&a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3\\
&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\
\end{eqnarray}

証明終了

因数分解公式④の証明

\(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\)

\begin{eqnarray}
& &(a-b)^3\\
&=&(a-b)(a-b)(a-b)\\
&=&(a-b)(a^2-2ab+b^2)\\
&=&a^3-2a^2b+ab^2-a^2b+2ab^2-b^3\\
&=&a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\
\end{eqnarray}

証明終了

因数分解公式⑤の証明

\(a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)

\begin{eqnarray}
& &(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\
&=&a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-ca^2+a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-cba+ca^2+cb^2+c^3-abc-bc^2-c^2a\\
&=&a^3+b^3+c^3-3abc
\end{eqnarray}

証明終了

因数分解公式(3乗)の使い方

因数分解公式(3乗)の使い方は下記の動画がとてもわかりやすいです!
ぜひ参考にしてみてください。

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