【底の交換公式】証明と使い方を解説!

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底の交換公式$$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$$

但し、\(a, b, c\)が正の数で\(a\neq1, c\neq1\)

理系の博士
理系の博士

底の交換公式ってどうやって使うの?
証明が知りたい!

ってな疑問に答えていきますよー

 

 

 

 

 

 

 

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底の交換公式って何に使うの?

対数を使っていると「具体的な値が知りたい!」って場面がちょくちょくあります。例えば、\(\log_512\)の値が知りたくてもパッと出てこないですよね。

 

そんな時に使うのがこの【底の交換公式】です。

 

底を交換するときに使う値が2つあります。10とeです。

(1) \(\log_{10}a\)
(2) \(\log_{e}a\)

 

eはネイピア数と言って\(e=2.71\ldots\)です。円周率の\(3.14\ldots\)みたいなもんですね。

 

このような\(\log_{e}a\)を自然対数と言いますが、詳しい解説は別ページに譲るとしますね。

 

ここでは分かりやすい(1)の常用対数(\(\log_{10}a\))を例に説明します。

 

\(\log_{10}a\)が使われる理由は大きく2つ。

(1)10は区切りがいい
(2)10だと何かと便利

理系の博士
理系の博士

1つずつ説明しますね!

10は区切りがいい

10の対数は結構色んなところで使われます。区切りが良いですからね!

ものすごく大きな数字を扱うときは、\(5\times10^{8}\)みたいな書き方をしますよね?これが\(4\times7^{9}\)とかじゃ、

(。´・ω・)ん?

ってなっちゃいます。

 

そういう理由もあって、\(\log_{10}a\)の値って教科書の最後の方に載ってたりします。\(1.01-9.99\)までが多いですね。このサイトでも取り扱ってますよ。
<常用対数の表(1.01~9.99)>

例-覚えておくと便利なやつ
\(\log_{10}2=0.3010\)
\(\log_{10}3=0.4771\)
\(\log_{10}5=0.6990\)

 

10だと何かと便利

2つ目の理由は何かと便利だからです。これは例を見る方が早いと思います。

【例】
\(\log_{10}30=\log_{10}10+\log_{10}3=1.4771\)
(\(\log_{10}3=0.4771\)なので)

こんな感じで10だと分離しやすいのです!

 

\(15\)なら\(10\times1.5\)ってな感じですね。常用対数を使う理由が分かったところで、1つの例として\(\log_512\)の値を求めてみましょう!

 

【例】
$$\begin{eqnarray} \log_512 &=& \frac{\log_{10}12}{\log_{10}5}\\
&=&\frac{\log_{10}10+\log_{10}1.2}{0.6990} \\
&=&\frac{1+0.0792}{0.6990}\\
&=&1.5440\end{eqnarray}$$

<常用対数の表(1.01~9.99)>

底の交換公式の証明

理系の博士
理系の博士

では、いよいよ底の交換公式を証明します!

証明(底の交換公式)\(a, b, c\)が正の数で\(a\neq1, c\neq1\)とする。

 

\(\log_ab=x\)とすると、\(b=a^x\)である。

ここで、

$$\log_cb=\log_ca^x=x\log_ca$$

つまり、
$$x=\frac{\log_cb}{\log_ca}$$

 

また、\(x=\log_ab\)なので、
$$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$$

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