逆関数の微分について詳しい解説!【逆関数の例も記載】

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逆関数の微分法$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)} (※ただしf'(y) \neq 0)$$

逆関数の微分法について解説します。この式のポイントは\(g'(x)\)に対して、\(f'(y)\)と()の中がxとyになっている点です。

  • この式の意味は?
  • 逆関数って何?
  • 式を証明したい!

といった疑問に答えていきます!

トムくん
トムくん

式見ただけじゃ何が何だか・・・

くりまろ
くりまろ

でも意外と簡単だからがんばろう!

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逆関数とは

まずは逆関数とは何かについて説明しますね。例えば、\(y=3x\)って式があったとします。これはxに1を入れたらyから3が出てくる関数です。

 

 

 

\(y=3x\)の逆関数は、yに3を入れたらxから1が出てくる関数ってことです!

トムくん
トムくん

ってことは\(x=\frac{1}{3}y\)?

くりまろ
くりまろ

おお!正解だよ!それが逆関数!

他にも簡単な例を見ていくと・・・

$$\begin{eqnarray}
y=3x & \leftrightarrow & x=\frac{1}{3}y \\
y=x^2 & \leftrightarrow & x=\sqrt y \\
y=Sin^{-1} x & \leftrightarrow & x=\sin y\\
\end{eqnarray}$$

などがあります。

逆関数の微分法の使い方

式で見るとややこしい逆関数の微分法ですが、意外と使い方は簡単です。微分した回答の逆数を作るだけ!

例えば一番簡単な例を見てみましょう。

$$y=3x \leftrightarrow x=\frac{1}{3}y $$

ここで\(y=g(x), x=f(y)\)として最初の式をみてみると・・・

逆関数の微分法$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)} (※ただしf'(y) \neq 0)$$

$$g'(x)=3, f'(y)=\frac{1}{3}$$

となります。これを逆関数の微分法に当てはめると

$$3=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$$

となります。

トムくん
トムくん

ちょっと難しく書いてるけど、
\(y=3x\)の微分が\(y’=3\)
\(x=\frac{1}{3}y\)の微分が\(x’=\frac{1}{3}\)

そして、\(3と\frac{1}{3}\)は逆数の関係
って言ってるんだよね?

くりまろ
くりまろ

そうそう!その通り!

これがいったい何に使えるのか・・・

逆関数の微分がもっとも威力を発揮する場所は逆三角関数です!

$$(Sin^{-1}x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

などですが、この解説は別に譲ります。

逆関数の微分法の証明

$$y=g(x) \leftrightarrow x=f(y)$$

合成関数の微分法を用いて、右側の式の両辺を微分すると

$$\begin{eqnarray}\frac{d}{dy}f(y)\frac{dy}{dx} &=& \frac{d}{dx}x\\
f'(x)\frac{dy}{dx}&=&1 \\
\frac{dy}{dx}&=& \frac{1}{ f'(x)}\\
g'(x) &=& \frac{1}{ f'(x)}\end{eqnarray}$$

くりまろ
くりまろ

証明完了!

さいごに

いろいろと難しく書きましたが、逆関数の微分法は当然ですが逆関数でしか使いません。なので、逆関数の微分が出てきたら、

「確かなんか方法あったよなあ・・・」

くらいに思い出す程度でOKです。そして微分の方法をその場で調べましょう!

何度も調べてるうちに自然と身に付きますよ。

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