そもそも【関数】とは何か|関数の意味からグラフとの関係を工学博士×現役エンジニアが徹底解説!

一次関数、二次関数、三角関数に指数関数。数学にはたくさんの関数が出てきますが、そもそも関数とはなんでしょうか。

関数を理解するだけで数学はとても楽になります。しかし一方で、数学が苦手になりやすいのも関数です。なぜなら【関数】だけでも苦労するのに、関数には【グラフ】が付きまとうからです。

この【グラフ】もまた曲者で、数学が嫌いになる原因となりやすいです。そこでこの記事では、

  • 関数とは何か
  • グラフとは何か

の2点について誰でも分かるように解説します!この記事を読むことで、少しでも「数学って楽しいな」と感じてもらえると嬉しいです。

エンジニア
エンジニア

難しい数式は使わないから大丈夫!

誰でも分かるように解説しますよ。

工学博士
工学博士

そもそも関数が何かの説明を聞く機会が少ないから、数学が苦手になっている可能性があります。あなたが数学を好きになる一助になればと思います。

【関数】とは数を変換する装置

まずは関数についてです。すごく簡単に言うと【関数】とは数を変換する装置です。良くわからないと思うので図を使って説明していきますね。

関数という装置に(2、5、‐3)の3つの数を入力したら、(3、9、-7)という数が出力されていますね。このように数を変換する装置が関数です。

この関数という装置のルールがわかるでしょうか?

答えを言うと、実はこの装置には

$$出力=2\times入力-1$$

というルールが隠れています。

\(2\)のときは\(2\times2-1=3\)

\(5\)のときは\(5\times2-1=9\)

\(-3\)のときは\(2\times(-3)-1=-7\)

といった具合です。

yとxを使って関数を書くと数学っぽくなる

先ほどは入力と出力という言葉を使いましたが、入力を\(x\)、出力を\(y\)とすると急に数学っぽくなります。(数学では\(x\)と\(y\)を使うのが一般的です。)

実際に\(x\)と\(y\)を使って書くと\(y=2x-1\)になります。

つまり、数学でよく見る\(x\)だとか\(y\)だとかは、関数という変換装置の入力と出力だったわけです。

エンジニア
エンジニア

この説明に対して良く聞かれる質問があります。「なんで文字を使うの?数字でやった方が分かりやすいんじゃないですか?」という質問です。

関数はなぜ文字を使うか

関数では入力と出力になぜ文字を使うのかの回答ですが、色々な入力をすることができるから。

です。

もう少し説明すると、\(y=2x-1\)であれば\(x\)にはどんな数字を入れてもいいのです。\(1,\ 3,\ 1.5,\ -3.222\cdots\)なんて数字を入れても大丈夫です。しっかり出力を出してくれます。これが文字を使う利点になるのです。

グラフについては後ほど説明しますが、このように様々な数字を入れていいとグラフ化しやすいメリットもあります。

工学博士
工学博士

文字を使って「ここには何かの数字が入るよ」って表してないとグラフを書くのは難しいですね。数字が一つだけだとグラフにはならないですね。

f(x)についても知っておこう

関数が分かってきたと思うので、ついでにf(x)も知っておきましょう。f(x)は簡単に言うと関数を表しています。

f(x)のfはfunction(関数)のfです。例えばさっきの例では、$$y=2x-1$$という関数を紹介しました。ここで\(y=f(x)\)と置きます。すると、$$f(x)=2x-1$$という式ができますね。

この書き方の便利なところは、カッコの中のxに数字を入れることができる点です。例えば、$$f(2)=2\times2-1=3$$と書くことができます。

\(y=2x-1\)にはできない書き方ですよね。

先ほどの例をもとに書くと、

$$f(2)=3, f(5)=9, f(-3)=-7$$

といった具合です、さっきの機械を書くよりはとても簡単になったと思います!

【グラフ】の説明|グラフとは関数を簡単にする絵

関数についてしっかり理解できましたか?

ここからはグラフについて説明します。グラフを簡単に言うと関数を分かりやすくするための絵(図)です。グラフと言うと拒否反応を示す人が多くいますが、実はグラフは関数を簡単にしてくれる私たちの味方なんです。

では、実際にグラフを書いてみましょう。

グラフは2本の線からできている

グラフは2本の線からできています。

このようにxとyの線ですね。

エンジニア
エンジニア

もう少し簡単に言うと、関数の入力と出力を表す線だよ。

数学では入力が横軸、出力が縦軸というルールがあります。だからxが横でyが縦になっています。

ここに\(y=2x-1\)のグラフを書いてみましょう。

直線ができましたよね。このグラフを使えばもう計算する必要はなくなります。$$f(0)=-1, f(-1)=-3$$なんかはグラフを見れば一瞬で分かりますからね。

関数とグラフについて

関数とグラフについて苦手意識が少しでも取れたでしょうか。数学にはたくさんの関数がでてきます。

  • 一次関数
  • 二次関数
  • 三角関数
  • 指数関数
  • 対数関数

などなど・・・

でもこれらは別のものと考えるのではなく、結局は関数の仲間だ!と思いましょう。関数をグラフにしたときの形で仲間分けしているだけなのです。

関数の基本は入力と出力があるというだけ。それを分かりやすくグラフにしているだけなのです。

このルールが分かってから、二次関数や三角関数の世界に飛び込むと、新しい発見があるかもしれませんよ!

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