[中2]多角形の内角の和の求め方と証明

今回は多角形の内角の和の求め方と証明です。

多角形の中で二番目に辺の多い四角形の内角の和をみていきます。四角形の内角の和は360度です。まずは360度であることを、三角形を使って証明します！

その後に、四角形より角の多い多角形の内角の和の求め方を紹介していきますよ。

四角形の内角の和

四角形の内角の和は360°です。

これは正方形を見れば一目でわかりますね！

正方形の定義に、『すべての角が直角』という条件が含まれています。

つまり、内角の和は$360°$だとわかります。

$$90\times4=360$$

しかしこれでは、正方形の内角の和が$360°$と分かっただけですね。

四角形の内角の和が$360°$である証明をしていきましょう。

証明の方法はいくつかありますが、ここでは三角形を使った証明方法を解説します。

図のように、四角形は対角線を1本引くことで、２つの三角形に分けることができます。

三角形の内角の和は$180°$ですね。

四角形は２つの三角形からできているので、四角形の内角の和は$360°$となります。

$$180\times2=360$$

三角形の内角の和を利用すると、多角形の内角の和も求めることができます。

六角形であれば、対角線を3本引くことで、4つの三角形に分けることができます。

これにより、六角形の内角の和は$720°$だとわかりますね。

$$180\times4=720$$

では、$n$角形の内角の和を最後に考えてみましょう。$n≧3$

$n$角形とは、三角形、四角形、五角形・・・という具合に、$n$に数字を入れて、色々な図形にすることを指します。

三角形は三角形が$1$つでできていますね。（当たり前ですね笑）

四角形は三角形が$2$つでした。

五角形は三角形が$3$つでした。

この法則に従えば、$n$角形の図形は($n-2$)個の三角形からできていることがわかります。

つまり、$n$角形の内角の和は下記の式で表すことができます。

$$n角形の内角の和=180\times(n-2)$$