[数3]球の表面積の求め方を証明｜積分

半径rの球の表面積Sは\(S=4\pi r^2\)で求めることができる。
\(S=4\pi r^2\)を積分で求めて、式を証明する。

球の断面図を見た時、\(x\)軸から\(\theta\)だけ傾けた直線と、そこから\(\delta \theta\)だけ傾けた2本の直線を考える。

このとき、円と傾きθの線の交点から、球に沿って円を描く。
すると青の点線のようになり、円の半径は\(r\cos\theta\)、
円周の長さは\(2\pi r\cos\theta\)となる。

同様に\(\theta+\delta\theta\)の点からも円を描き、囲まれた面の面積を求めると、
帯の幅が\(r\delta\theta\)であることを考慮すると、
\(S=2\pi r\cos\theta rd\theta\)となる。

ここで\(d\theta \to 0\)として、限りなく小さくすると、積分で球の表面積を求められる。

式は、
\(S=\displaystyle\int^{\pi/2}_{-\pi/2}2\pi r\cos\theta rd\theta\)となる。

\begin{eqnarray}
S&=&\displaystyle\int^{\pi/2}_{-\pi/2}2\pi r\cos\theta rd\theta\\
&=&\displaystyle\int^{\pi/2}_{-\pi/2}2\pi r^2\cos\theta d\theta\\
&=&2\pi r^2 \[\sin\theta]^{\pi/2}_{-\pi/2}\\
&=&2\pi r^2\{1-(-1)\}\\
&=&4\pi r^2
\end{eqnarray}

以上より、半径\(r\)の球体の表面積Sは\(S=4\pi r^2\)となる。

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