例題5人（Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさん）を丸テーブルに座らせるとき、その座り方は何通りあるか。
5人を順番に並べるには、順列の公式（P）を使えばOKです。
<【順列の公式】Pについて徹底解説【良質な例題を用意】>
しかし、丸テーブルに座らせると【円順列】となり、順列の公式が使えません。
円順列とは何かから解説していきます。
円順列とは
例題（円順列）5人（Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさん）を丸テーブルに座らせるとき、その座り方は何通りあるか。
この例題は円順列の問題です。解くには少しコツが必要です。
最初に普通の順列との違いを学んでおきましょう！
普通の順列の場合
例題（普通の順列）5人（Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさん）を1列に並べるとき、その座り方は何通りあるか。
この場合は組み合わせの公式を使えば1発で解けます。
$$\begin{eqnarray} {}_5 \mathrm{ P }_5&=&5!\\&=&5\times4\times3\times2\times1\\&=&120\end{eqnarray}$$
この中には、
$$A-B-C-D-E\\B-A-C-D-E$$
などのパターンがあります。しかし、円順列の場合はこの通りではありません。
なぜなら、
$$A-B-C-D-E\\C-D-E-A-B\\E-A-B-C-D$$
などは円順列では同じと扱います。
では、ここから円順列の計算方法を解説しますね！
円順列の計算方法
円順列は3つの手順を踏めば完了します。
- 普通の順列を計算
- 被ってるパターンを確認
- 計算する
です。
では、早速例題を解いてみましょう。
例題（円順列）5人（Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさん）を丸テーブルに座らせるとき、その座り方は何通りあるか。
A. 24通り
普通の順列を計算する。
まずは、円順列ではない普通の順列を計算しましょう。丸テーブルに座らせるのではなく、1列に並べる場合です。
これはさっきやりましたね。
$$\begin{eqnarray} {}_5 \mathrm{ P }_5&=&5!\\&=&5\times4\times3\times2\times1\\&=&120\end{eqnarray}$$
120通りあることが分かりました。
しかし、この120の中には円順列では同じパターンになっているものがあります。つまり、被りがあるんですね。
120 – 被りのパターン数 ＝ 円順列のパターン数
そこで、第２ステップで被りのパターン数を確認します！
被ってるパターンを確認
被ってるパターン数の確認と言っても、全部探すのはとても大変です。
なので、\(A-B-C-D-E\)で考えてみましょう。
被りのパターンは全部で5つあります！
5人なので、Aさんの場所（スタート地点）が5つあります。なので5パターン被ってるんですね。
逆に言うと、5パターンにつき1パターンの円順列があることになります。
つまり、120を5で割れば答えになります。
計算する
１．普通の順列を計算する
$$\begin{eqnarray} {}_5 \mathrm{ P }_5&=&5!\\&=&5\times4\times3\times2\times1\\&=&120\end{eqnarray}$$
２．被りパターンを確認する
5人いるから5パターンにつき1パターンの円順列ができる！
３．計算する
120を5で割る。
$$120\div5=24$$
円順列の例題
例題6人が丸テーブルに座るとき、座り方は何通りあるか。
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