三角形に五つの心があることを知っていますか？
「ただの図形なんだから、心なんかないだろう」と思った人も多いでしょう。
実は三角形には「五心」と呼ばれる5つの点が存在します。
これから三角形の五心について詳しく解説します。
三角形の五心とは
三角形の五心とは、外心、内心、重心、垂心、傍心の5つで、それぞれ独自の性質を持っています。
驚くべきことに、この五心が組み合わさることで、幾何学的な美しさと数学的な深みが広がるのです。この記事を読んでいただくことで、五心の知識を身につけるだけでなく、数学への興味もさらに高まることでしょう。
三角形の外心
三角形の外心とは三角形の各辺の垂直二等分線が1点で交わる点のことです。
それではなぜ三角形の各辺の垂直二等分線が1点で交わるのでしょうか。 $\triangle ABC$において、2辺$BC$、$CA$の垂直二等分線の交点を$O$とします。
このとき、$OB=OC$かつ$OC=OA$が成り立ちます。 よって$OB=OA$となり、$O$は辺$AB$の垂直二等分線上にあることがわかります。 したがって、各辺の垂直二等分線は1点で交わることが証明されました。
以上のことから、$OA=OB=OC$であることがわかり、$O$は点$A$、$B$、$C$から等距離にあることがわかります。よって$O$を中心とした3点$A$、$B$、$C$を通る円をかくことが可能です。
この円を「外接円」といいます。 つまり三角形の外心は3辺の垂直二等分線が交わる点であり、外接円の中心でもあります。
三角形の内心
三角形の内心とは三角形の3つの内角の二等分線が1点で交わる点のことです。なぜ三角形の3つの内角の二等分線が1点で交わるのかを考えてみましょう。△ABCにおいて、角Aと角Bの二等分線の交点をIとします。
Iから3辺AB、BC、CAにそれぞれ垂線をおろします。 3辺と垂線の交点をそれぞれD、E、Fとすると、$ID=IE$かつ$ID=IF$が成り立ちます。
よって$IE=IF$が成り立つので、Iは角Cの二等分線上にあることがわかり、Iは三角形の3つの内角の二等分線が1点で交わる点であることが証明できました。以上のことから$ID=IE=IF$が成り立つので、Iを中心とした3点D、E、Fを通る円をかくことができます。この円を「内接円」といい、Iは内接円の中心です。
したがって、三角形の内心は三角形の3つの内角の二等分線が1点で交わる点であり、内接円の中心でもあります。
三角形の重心
三角形の重心とは、三角形の3本の中線が1点で交わる点のことです。 中線とは三角形の頂点と対辺の中点を結んだ線のことをさします。 また重心はそれぞれの中線を2:1に内分する点でもあります。
今からなぜ三角形の3本の中線が1点で交わるか、また重心はそれぞれの中線を2:1に内分するかを考えていきましょう。
三角形の重心の証明
$△ABC$において、各辺の中点を$D$、$E$、$F$とします。 2本の中線$BF$と$CD$の交点を$G$とすると、$F$と$D$は辺$AB$、$AC$の中点なので、中点連結定理により、$DF$平行$BC$、$BC:DF=2:1$になります。 よって、$BG:GF=CG:GD=2:1$であることがわかりました。
次に、2本の中線$BF$と$AE$の交点を$H$とします。 $F$と$E$は辺$BC$、$AC$の中点なので、中点連結定理より $EF$平行$AB$、$AB:EF=2:1$ よって、$BH:HF=AH:HE=2:1$が成り立ちます。 したがって、$G$と$H$は辺$BF$を2:1で内分する点なので、一致します。
以上のことから、3本の中線は1点で交わり、その点はそれぞれの中線を2:1に内分することが証明されました。 つまり三角形の重心は三角形の3本の中線が1点で交わる点であり、それぞれの中線を2:1に内分する点でもあります。
三角形の垂心
三角形の垂心とは、$△ABC$の3つの頂点から対辺におろした点が1点で交わる点ことです。 垂心は三角形の内側ではなく、外側にある場合もあります。 その例が図1です。 三角形の形によって垂心の位置も変化するので、その点には注意しましょう。
三角形の傍心
三角形の五心の最後は傍心について説明します。 三角形の傍心とは1つの角の内角二等分線と残りの2つの角の外角の二等分線が1点で交わる点のことです。 図は角$A$に対する傍心であり、辺$AB$、$AC$のそれぞれの延長線に接する円をかくことができます。 この円を傍心円といいます。 また角$A$と同様に角$B$、$C$にも傍心と傍心円は存在します。
三角形の外心のまとめ
三角形の五心について解説しました。
ここまで読んでいただき、ありがとうございます。
ポイントは下記の3つです。
- 三角形の外心とは三角形の各辺の垂直二等分線が1点で交わる点のことです。
- 三角形の内心とは三角形の3つの内角の二等分線が1点で交わる点のことです。
- 三角形の重心とは、三角形の3本の中線が1点で交わる点のことで、それぞれの中線を2:1に内分します。
- ほかにも三角形の垂心、傍心という点も存在します。
三角形の五心のなかでも特に大切な点は「外心」「内心」「重心」です。
5つも新しい心が存在するため、どの点のことをさしているのか混乱してしまうこともあるでしょう。
そのようにならないため、自分の中で1つ1つの点の特徴をしっかりおさえておくことが大切です。
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