【指数関数】誰でも分かる指数法則や性質

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こんにちは、工学博士のKotaです!

 

今回は指数関数を噛み砕いて解説したいと思います。指数関数は理解すると難しくないです。しかしその反面、とっても重要なのです。もし完璧に理解できていないと、数学が嫌いになる要因になってしまうくらいです。

てことで、しっかり理解していきましょー。

トムくん
トムくん

指数関数って名前がダサくない?笑

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指数関数とは

まずは指数関数の定義を確認しましょう!

$$y=a^{x}\ (\text{ただし、}a>0,\ a\neq1)$$

これが定義です。定義はひとまず「こういうもの!」と、無理矢理でも自分を納得させるのが数学が分かるコツです。

正直こんな式をみただけで理解できる人はかなり少ないと思います。

では詳しくみていきましょう。

\(a^{x}\)の具体例

ここで理解を深めるために具体例を見ていきましょう。

ここで数字を当てはめます。

まずは\(a=2\)を当てはめて考えます。

上の図の左上が表、右側がグラフとなります。\(a=2>1\)と1より大きいので、単調増加していくグラフとなります。

一方で1より小さいとどうなるでしょうか。試しに\(a=\frac{1}{2}\)を代入して見ましょう。先ほどのグラフをもう一度確認すると、xが増加するとyが減少していることがわかりますね。

このように、\(a=\frac{1}{2}<1\)と1より小さい場合は単調減少するグラフとなります。

  • \(a\geq1\)ならば単調増加
  • \(a\leq1\)ならば単調減少

a>0とa≠1の理由

次に、a>0とa≠1の理由を考えていきましょう!

もし、a<0だった場合どうなるでしょうか。aはマイナス(負の数)になりますよね。例えばa=(-1)、xが0.5の場合、

$$a=\sqrt{-1}$$

となってしまいまい、ルートの中がマイナスなので成り立ちませんね。
※虚数って概念を持ち込めば成り立ちますが、今回は割愛いたします。

ではa≠1について考えましょう。逆にa=1だった場合を考えると理由が見えてきます。aが1だった場合、

$$y=1^{x}$$

となります。これではxが何であってもy=1になります。なので指数関数の定義ではa≠1って条件がつくんですな!

指数関数の性質

それでは、ここから指数関数の性質を確認していきましょう!

まあ正直ここはそんなに重要じゃないかなあ、でも知っておいた方がいいよなあって暗いの重要度になります。大きく分けて2つありますのでまとめましょう!

1つ目の性質

a≠0で、nが正の整数のとき

$$a^{0}=1,\ a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$$

これは感覚で覚えてください!どんな数を0乗しても答えは1になります。また-n乗すると\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)のように分数で表す事も可能です。

2つ目の性質

a>0で、mが整数、nが2以上の整数のとき
$$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},\ \ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^{m}$$
これも直感的に覚えておくとOKです。これら2つの性質は式変形と言うより、「こういった書き方もできますよ!」みたいな認識でいいと思います。
1つ注意点がありますが、\(a^\frac{1}{2}\)のように分子が2の場合。
2の場合は普通の√になりますので、気をつけてください!
【例】
$$4^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[2]{4})^{3}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8$$
みたいな感じです。

指数法則(指数関数で使える法則)

最後に指数法則を紹介しましょう。

指数法則はざっくり4つあります。

  1. \(a^{p}a^{q}=a^{p+q}\)
  2. \((a^{p})^{q}=a^{pq}\)
  3. \((ab)^{p}=a^{p}b^{p}\)
  4. \(\frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}=\frac{1}{a^{q-p}}\)

この指数法則、結構大事です。と言うのも今後、こういった計算が数学でガンガン登場します。

「え?これ法則?常識だよね?」

くらい使いこなせるようになっておいてくださいね!

指数関数まとめ

指数関数をまとめます!

  • \(y=a^{x}\ (\text{ただし、}a>0,\ a\neq1)\)が定義
  • \(a\geq1\)ならば単調増加\(a\leq1\)ならば単調減少
  • 指数法則は今後ガンガン登場するよ!

以上です!ご質問などありましたら、お問い合わせページかコメントでお願いいたします^^

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