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【積分】置換積分法|不定積分と定積分の公式を紹介【やり方と例題も】

今回のテーマは置換積分法です。
置換積分法の公式は下記の通り。

置換積分法|不定積分
\(\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t)\displaystyle \frac{dt}{dx}dx=\displaystyle\int f(t) dt\)


置換積分法|定積分

\(g(x)=t\)とおくとき、\(g(a)=α,\ g(b)=β\)であれば、
\(\displaystyle\int_a^b f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int_α^β f(t) dt\)

式だけだと、何のことか良くわからないと思います。
ここからは公式の意味の説明と、実際に問題を使って解説していきます!

九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します!
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置換積分法|不定積分

まずは置換積分法の式の意味を紹介します。
しかし、わからなければ飛ばしてOKです。
問題が解けるようになることが大切なので、例題まで進んでください!

置換積分法の式の意味

変数\(x\)と\(t\)の間に\(t=g(x)\)という関係があり、\(g(x)\)が微分可能だったとする。このときの関数\(f(t)\)の不定積分\(\displaystyle\int f(t)dt\)について考えてみる。

\(\displaystyle\int f(t)dt=F(t)\)とおくと、\(F'(t)=f(t)\)であるから、\(F(t)\)に\(t=g(x)\)を代入した合成関数を\(x\)で微分すると、下記の式を得られる。

$$F'(g(x))=f(g(x))g'(x)$$

両辺を不定積分すると、

$$\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int F(g(x))=\displaystyle\int f(t)dt$$

置換積分の理解を深めるには例題を解くのが早いので、早速例題に参ります。

例題|不定積分

【例題】次の不定積分を求めよ。

(1) \(\displaystyle\int(3x-2)^5dx\)

(2) \(\displaystyle\int \sin^4x \cos x dx\)

まずは置換積分法の式をおさらいしてみましょう。

置換積分法|不定積分
\(\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t) dt\)

それでは、置換積分法を使って問題を解いていきましょう。

(1)で考えると、\(f(g(x)=(3x-2)^5\)で\(g(x)=3x-2\)とおくことができそうです。

\(\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t) dt\)より、
\(3x-2=t,\ g'(x)dx=dt\)を代入します。

\(g'(x)=3\)より、\(dx=\displaystyle \frac{1}{3}dt\)です。
以上の式を使うと下記の通り積分できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx &=&\displaystyle\int f(t) dt\\
\displaystyle\int (3x-2)^5 dx&=& \displaystyle\int t^5\cdot \displaystyle \frac{1}{3}dt \\
&=& \displaystyle \frac{1}{3} \cdot \displaystyle \frac{1}{6}t^6\\
&=&\displaystyle \frac{1}{18}(3x-2)^6 \end{eqnarray}


(2) \(\displaystyle\int \sin^4x \cos x dx\)を解いていきましょう。

\(g(x)=\sin x=t\)とおくと、\(g'(x)dx=dt\)より、\(\cos x dx=dt\)となる。
上記の式を代入すると下記の通り積分できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx &=&\displaystyle\int f(t) dt\\
\displaystyle\int \sin^4x \cos x dx &=& \displaystyle\int t^4 dt \\
&=&\displaystyle \frac{1}{5}t^5\\
&=&\displaystyle \frac{1}{5}\sin^5 x
\end{eqnarray}

解き方のポイント

トムソン
トムソン

置換積分法のポイントはどこまでを\(t\)とおけば解きやすくなるかです。

例えば(2)で\(\sin x=t\)としましたが、式の見た目から\(\sin^4 x=t\)とおいてしまうと\(4\sin^3 x\cos x dx=dt\)になってしまいます。
これだと下記の式の通り、\(x\)の関数を\(t\)で積分することになります。

$$\displaystyle\int \sin^4x \cos x dx = \displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{4} \sin x dt$$

一方で、\(\sin^5 x=t\)とおく荒技もあります。
\(5\sin^4 x \cos x dx=dt\)となるため、\(\displaystyle\int \sin^4 x \cos x dx=\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{5}dt\)という簡単な積分にすることができます。

$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{5}dt=\displaystyle \frac{1}{5}t=\displaystyle \frac{1}{5}\sin^5 x$$

どこまでを\(t\)に置換するかは、練習問題を解いて慣れていくしかありません!
がんばりましょう!

置換積分法|定積分

定積分の置換積分法の公式を導いていきましょう。

置換積分法|定積分 の式の意味

\(f(x),\ g(x),\ g'(x)\)が区間\([a,\ b]\)で連続であるとすると、不定積分の置換積分法より、下記の式が得られる。

$$\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t) dt$$

したがって、

$$\displaystyle\int_a^b f(g(x))g'(x)dx=\left[F(g(x) \right]_a^b=F(g(b))-F(g(a))$$

一方で、\(g(a)=α,\ g(b)=β\)とおくと下記の式を得られる。

$$\displaystyle\int_α^β f(t)dt=\left[ F(t)\right]_α^β=F(g(b))-F(g(a))$$

以上より、置換積分法の公式が得られる。

$$\displaystyle\int_a^b f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int_α^β f(t)dt$$

ここの式が理解できなくても、重要なのは問題が解けることです!
例題を解いていきましょう。

例題|定積分

(1) \(\displaystyle\int_1^2 (2x-3)^4dx\)

(2)\(\displaystyle\int_1^e \displaystyle \frac{\log x}{x}\)

では解いていきます。

(1) \(\displaystyle\int_1^2 (2x-3)^4dx\)

\(2x-3=t\)とおくと、\((2x-3)’dx=dt\)より、\(dx=\displaystyle \frac{1}{2}dt\)である。
\(x\)の範囲は\(1\rightarrow2\)なので、\(t\)の範囲は下記の計算より、\(-1\rightarrow1\)となる。

\begin{eqnarray}
2x-3&=&t\ より\\
x&=&1\rightarrow 2\cdot1-3=-1\\
x&=&2\rightarrow 2\cdot2-3=1 \end{eqnarray}

以上を代入すると、下記の積分の式が得られる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_a^b f(g(x))g'(x)dx&=&\displaystyle\int_α^β f(t)dt
\displaystyle\int_1^2 (2x-3)^4dx &=& \displaystyle\int_{-1}^1 \displaystyle \frac{1}{2} t^4dt \\
&=& \left[ \displaystyle \frac{1}{2}\cdot\displaystyle \frac{1}{5}t^5\right]_{-1}^1\\
&=&\displaystyle \frac{1}{10}(1^5-(-1)^5)\\
&=&\displaystyle \frac{1}{10}\cdot 2\\
&=&\displaystyle \frac{1}{5}
\end{eqnarray}


(2) \(\displaystyle\int_1^e \displaystyle \frac{\log x}{x}\)

\(\log x=t\)とおくと、\((\log x)’dx=dt\)より\(\displaystyle \frac{1}{x}dx=dt\)

\(x\)の範囲が\(1\rightarrow e\)なので、\(\log x=t\)に代入すると、下記の式より\(t\)の範囲は\(0\rightarrow 1\)となる。

\begin{eqnarray} \log 1 &=& 0 \\
\log e&=& 1 \end{eqnarray}

以上より、積分を計算する。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_a^b f(g(x))g'(x)dx&=&\displaystyle\int_α^β f(t)dt\\
\displaystyle\int_1^e \displaystyle \frac{\log x}{x} dx&=& \displaystyle\int_0^1 t\ dt\\
&=&\left[ \displaystyle \frac{1}{2}t^2\right]_0^1\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}(1^2-0^2)\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2} \end{eqnarray}

解き方のポイント

定積分では不定積分の計算にプラスして、積分範囲の計算をする必要があります。
しかし、何を\(t\)とおいていいかわからないときは、積分範囲にヒントが隠されていたりします。

例えば先ほどの(2)の問題でも、積分範囲にヒントを隠しています。
\(1\rightarrow e\)としていますよね。
これは、\(\log x=t\)とおいてね!ってメッセージになっているのです。

もう少し難しい関数を積分することになったら、積分範囲のヒントは活用することをオススメします!

今回は以上です!

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