逆関数の微分法について詳しい解説！【逆関数の例も記載】

逆関数の微分法$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)} (※ただしf'(y) \neq 0)$$

逆関数の微分法について解説します。この式のポイントは$g'(x)$に対して、$f'(y)$と（）の中がｘとｙになっている点です。

逆関数って何？
逆関数の微分法の使い道は？
この公式を証明したい！

といった疑問に答えていきます！

式を見ただけでは、よく分からないと思いますが、記事を読み終わった後には式を理解できていますよ！

逆関数とは
逆関数の微分法の使い方
逆関数の微分法の証明
さいごに｜逆関数の微分法

逆関数とは

まずは逆関数とは何かについて説明しますね。例えば、$y=3x$って式があったとします。これはｘに１を入れたらｙから３が出てくる関数です。

関数の詳しい解説
≫そもそも【関数】・【グラフ】とは何か｜これで数学は怖くなくなる！≪

$y=3x$の逆関数は、ｙに３を入れたらｘから１が出てくる関数ってことです！

他にも簡単な例を見ていくと・・・

$$\begin{eqnarray}
y=3x & \leftrightarrow & x=\frac{1}{3}y \\
y=x^2 & \leftrightarrow & x=\sqrt y \\
y=Sin^{-1} x & \leftrightarrow & x=\sin y\\
\end{eqnarray}$$

などがあります。

逆関数の微分法の使い方

式で見るとややこしい逆関数の微分法ですが、意外と使い方は簡単です。微分した回答の逆数を作るだけ！

例えば一番簡単な例を見てみましょう。

$$y=3x \leftrightarrow x=\frac{1}{3}y $$

ここで$y=g(x), x=f(y)$として最初の式をみてみると・・・

逆関数の微分法$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)} (※ただしf'(y) \neq 0)$$

$$g'(x)=3, f'(y)=\frac{1}{3}$$

となります。これを逆関数の微分法に当てはめると

$$3=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$$

となります。

$y=3x$の$x$の微分が$y’=3$

$x=\displaystyle \frac{1}{3}y$の$y$の微分が$x’=\displaystyle\frac{1}{3}$

$3と\displaystyle \frac{1}{3}$は逆数の関係!!

これがいったい何に使えるのか・・・

逆関数の微分がもっとも威力を発揮する場所は逆三角関数です！

$$(\sin^{-1}x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

具体的な計算は下記の通りです。

$y=\sin^{-1} x\Leftrightarrow x=\sin y$より、

\begin{eqnarray}
\frac{d}{dx}x &=& \frac{d}{dx}\sin y \\
1 &=& \frac{d}{dy}\sin y\frac{dy}{dx}(合成関数の微分法)\\
1 &=& \cos y \frac{dy}{dx}\\\\
\displaystyle \frac{dy}{dx}&=&\displaystyle \frac{1}{\cos y}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\cos^2 y}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{eqnarray}

もう少し具体的な計算は下記の記事で紹介しています。
よかったら参考にしてください。

>>arcsin x の微分<<

【微分】逆三角関数アークサインの導関数を合成関数と逆関数の微分法で実施！

$Sin^{-1}x$（アークサイン）の微分$$(Sin^{-1}x)'=\frac{1}{...

最後に逆関数の微分法の証明をしていきたいと思います。

逆関数の微分法の証明

$$y=g(x) \leftrightarrow x=f(y)$$

合成関数の微分法を用いて、右側の式の両辺を微分すると

$$\begin{eqnarray}\frac{d}{dy}f(y)\frac{dy}{dx} &=& \frac{d}{dx}x\\
f'(y)\frac{dy}{dx}&=&1 \\
\frac{dy}{dx}&=& \frac{1}{ f'(y)}\\
y’ &=& \frac{1}{ f'(y)}\end{eqnarray}$$

これで証明完了です。