【微分】ルートx(√x)を２つの方法で微分｜公式と定義

今回は$\sqrt{x}$を２つの方法で微分します。
具体的には下記の式を証明します。

$$(\sqrt{x})’=\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

公式に当てはめて微分する方法と、定義通り微分する2通りで微分します。
最初に微分の計算を紹介して、後半で公式の証明などを解説します。

トムソン

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ルートx の微分
- 公式に当てはめる｜$(x^n)’=nx^{n-1}$
- 定義通り微分する
解説｜ $(x^n)’=nx^{n-1}$の証明

ルートx の微分

まずは公式に当てはめて微分してみましょう。

公式に当てはめる｜$(x^n)’=nx^{n-1}$

下記の公式に当てはめて$\sqrt{x}$を微分する。（公式の証明は後述）

$$(x^n)’=nx^{n-1}$$

$\sqrt{x}=x^{ \frac{1}{2}}$と表せるので、$n=\displaystyle \frac{1}{2}$となる。

以上より、

$$(\sqrt{x})’=\displaystyle \frac{1}{2}x^{\left(\frac{1}{2}-1\right)}=\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

公式に当てはめると、難しい計算はありませんね。
次に定義通り計算してみましょう。

定義通り微分する

微分の定義は下記の通りである。

$$f'(x)=\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

ここで$f(x)=\sqrt{x}$なので、代入することで下記の通り微分できる。

\begin{eqnarray}
f'(x)&=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\
&=& \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \\\\
&=& \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \displaystyle \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\\\
&=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\\\
&=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{eqnarray}

微分の計算はここまでです！

ポイントは$ \displaystyle \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$をかけるところです。
掛けることができれば、難しい計算はありませんね。

ここからは微分に使った公式を証明していきます。

解説｜ $(x^n)’=nx^{n-1}$の証明

二項定理を使った$x^n$の微分の証明をしています。

\begin{eqnarray}
f'(x) &=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\
&=& \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\\\\end{eqnarray}

ここで二項定理より、

$$(x+h)^n=x^n + {}_{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}xh^{n-1}+h^n$$

とできるので、

\begin{eqnarray}
&=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 }\displaystyle \frac{1}{h}\left[ \left( {}_n \mathrm{ C }_0 x^n + {}{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}xh^{n-1}+{}_n \mathrm{ C}_nh^n\right)-x^n\right]\\\\
&=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 }\displaystyle \frac{1}{h} \left( x^n + {}_{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}xh^{n-1}+{}_n \mathrm{ C}_nh^n-x^n\right)\\\\
&=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 }\left( {}_{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}xh^{n-2}+{}_n \mathrm{ C}_nh^{n-1}\right)\\\\
&=& {}_{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1}\\
&=&nx^{n-1}
\end{eqnarray}

となります。
もっと詳細の解説は下記の記事を参考にしてください。

>>$(x^n)’=nx^{n-1}$の微分<<