【微分】x^nを微分する方法|二項定理を使った証明

今回は\((x^n)’=nx^{n-1}\)の微分を証明していきます。

計算には二項定理を使いますので、計算を示した後に二項定理について簡単に解説します。

トムソン
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\((x^n)’\)の微分計算

では早速計算していきましょう。


微分の定義より、\(f(x)=x^n\)とすると、

\begin{eqnarray}
f'(x) &=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\
&=& \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\\\\end{eqnarray}

ここで二項定理より、

$$(x+h)^n=x^n + {}_{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}xh^{n-1}+h^n$$

とできるので、

\begin{eqnarray}
&=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 }\displaystyle \frac{1}{h}\left[ \left( {}_n \mathrm{ C }_0 x^n + {}{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}xh^{n-1}+{}_n \mathrm{ C}_nh^n\right)-x^n\right]\\\\
&=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 }\displaystyle \frac{1}{h} \left( x^n + {}_{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}xh^{n-1}+{}_n \mathrm{ C}_nh^n-x^n\right)\\\\
&=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 }\left( {}_{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}xh^{n-2}+{}_n \mathrm{ C}_nh^{n-1}\right)\\\\
&=& {}_{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1}\\
&=&nx^{n-1}
\end{eqnarray}


以上で微分は完了です。
二項定理がわかっていれば、計算自体は難しくありませんね。

関連記事

微分に使った計算方法を解説した記事を紹介して終わります。

二項定理

今回の計算の根幹に当たる部分ですね。

>>二項定理の解説<<

場合の数\(C\)の使い方

二項定理には\( {}_{n} \mathrm{ C }_1\)なども登場するので、\(C\)の使い方解説も紹介しておきます。

>>組み合わせの公式<<

\(x^n\)の微分の解説は以上です!

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