【逆数とは】意味と計算方法・使い方を8つの例題で工学博士が徹底解説!

逆数とは、「その数に掛け合わせると1になる数」であり、数学(算数)や物理(理科)で度々使用されます。

いくつか逆数を紹介します。

$$\displaystyle \frac{2}{5}\rightarrow\displaystyle \frac{5}{2}$$

$$0.3\rightarrow\displaystyle \frac{10}{3}$$

$$4\rightarrow\displaystyle \frac{1}{4}$$

これらが逆数になります。

今回は、逆数をどうやって求めるのか逆数は何に使われるのか、について8つの例題を通して解説していきたいと思います!

逆数とは|掛けると1になる数

逆数とは、「その数に掛け合わせると1になる数」と定義されています。

文字で見ると分かりにくいので1つ例を挙げましょう。

例題1

\(\displaystyle \frac{3}{8}\)の逆数を求めよ。

この場合だと、\(\displaystyle \frac{3}{8}\)に何を掛けると\(1\)になるかを考えればOKです。

答え、\(\displaystyle \frac{8}{3}\)

\(\displaystyle \frac{3}{8}\times\displaystyle \frac{8}{3}=1\)になるからです。

それでは、分数の逆数を簡単に求める方法を解説していきます。

分数の逆数を計算する

分数の逆数を計算する方法はとっても簡単です!

分母と分子を入れ替えるだけ!

例題2

\(\displaystyle \frac{5}{12}\)の逆数を求めよ。

このとき、分母は\(12\)、分子は\(5\)なので、これらを入れ替えればOKです。

答え、\(\displaystyle \frac{12}{5}\)

今回は真分数で計算しましたが、仮分数でも同じ方法で逆数を求めることができます。

 

では、帯分数はどうでしょうか?

帯分数の逆数を計算する

帯分数の逆数は、最初に帯分数を仮分数に直す必要があり、計算にひと手間かかります。

例題3

\(3\displaystyle \frac{3}{5}\)の逆数を求めよ。

まずは帯分数を仮分数に直します。

$$3\displaystyle \frac{3}{5}=\displaystyle \frac{18}{5}$$

変換した仮分数の分母と分子を入れ替えると、逆数となります。

答え、\(\displaystyle \frac{5}{18}\)

やっていることは同じなので、難しくないと思います。

小数の逆数を計算する

次に小数の逆数を計算します。

小数の逆数を求めるには、小数を分数に直す必要があります。

例題4

\(0.4\)の逆数を求めよ。

まずは小数を分数に直します。

$$0.4=\displaystyle \frac{4}{10}=\displaystyle \frac{2}{5}$$

\(0.4=\displaystyle \frac{2}{5}\)が分かったので、分母と分子を入れ替えると逆数となります。

答え、\(\displaystyle \frac{5}{2}\)

小数を分数に直す工程以外は同じですね!

整数の逆数を計算する

分数、小数と来て、最後に整数の逆数を計算します。

小数は分数に変換することで、逆数を求めました。一方で整数は、分数に見立てて逆数を求めます。

例題5

\(3\)の逆数を求めよ。

整数は分数として見ると、分母に\(1\)があると見ることもできます。

$$3=\displaystyle \frac{3}{1}$$

と言った具合です。この\(\displaystyle \frac{3}{1}\)の分母と分子を入れ替えることで、逆数となります。

答え、\(\displaystyle \frac{1}{3}\)

とても簡単ですね。

ただし、整数の中でも少し注意すべき数が2つありますので、解説していきます。

1と0の逆数を計算する

最後に整数の中でも特殊な\(1\)と\(0\)について考えます。

まずは\(1\)から。

例題6

\(1\)の逆数を求めよ。

例題5のときと同様に\(1\)を分数に見立てます。

$$1=\displaystyle \frac{1}{1}$$

ここで、\(\displaystyle \frac{1}{1}\)の分母と分子を入れ替えても、\(\displaystyle \frac{1}{1}\)ですね。

また、\(\displaystyle \frac{1}{1}=1\)なので、

答え、\(1\)

 

次に、\(0\)の逆数を考えます。

例題7

\(0\)の逆数を求めよ。

先に答えを言うと、\(0\)の逆数は存在しません。

逆数とは、「その数に掛け合わせると1になる数」と定義されています。しかし、\(0\)には何を掛けても\(0\)になるので、逆数が存在しないのです。

一応、分母と分子を入れ替えた計算をやってみましょう。

 

整数を一旦、分数であると見立てます。

$$0=\displaystyle \frac{0}{1}$$

そして、分母と分子を入れ替えると、

$$\displaystyle \frac{1}{0}$$

となります。しかし、数学(算数)において、分母に\(0\)が来ることは禁止されています。

よって、\(0\)の逆数は存在しないと言えるのです。

\(0\)の逆数が無いことに関するより詳しい解説は下記をご覧ください。

逆数はいつ使われるのか

ここまで逆数を求めましたが、では逆数が何の役に立つのか・・・

これについて簡単に説明します。一番役に立つのは方程式かなと個人的には考えています。

例題8

\(\displaystyle \frac{2}{3}\times □=4\)のとき、\(□\)に入る数を答えよ。

例題8の場合、\(□\)に入る数字は何かな・・・と考えるより、

\(\displaystyle \frac{2}{3}\)の逆数は何かな・・・と考える方が早いです。

\(\displaystyle \frac{2}{3}\)の逆数は\(\displaystyle \frac{3}{2}\)であることを利用します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{2}{3}\times □ &=& 4\\
\frac{2}{3}\times □\times\displaystyle \frac{3}{2} &=& 4\times\displaystyle \frac{3}{2}\\
1\times□ &=& 6\\
□ &=& 6\\
\end{eqnarray}

この様にいらない数(計算上少し邪魔な数)を\(1\)として消すことができるので、逆数はとても役に立つ計算技術です。

コメント