0で割るのが禁止されている理由を3つのパターンで解説!

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7世紀(紀元628年)に、インドで発見されたと言われている\(0\)(ゼロ)。整数で一番最後に見つかった数だとされています。

\(0\)に何を掛けても\(0\)になるし、足しても引いても無視される、他の整数とは全く違う性質を持っています。

中でも圧倒的に特殊な性質として、「\(0\)では割れない」という性質があります。

今回は、なぜ\(0\)で割ることが禁止されている理由について、3つのパターンで解説していきたいと思います!

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0で割れないイメージを考える

1つ目のパターンとして割り算のイメージで考えてみましょう。

例題1

リンゴが12個あります。3人で分けると1人何個もらえるでしょう。

簡単ですね。

$$12\div3=4$$

答え、1人4個もらえる。

 

では、0で割るときのことを考えてみます。

例題2

リンゴが12個あります。0人で分けると1人何個もらえるでしょう。

怖いですね。0人で分けるのに1人何個もらえるかを聞いてくる問題になってしまいました。

もちろん、答えは計算できない。です。

$$12\div0=\ 計算できない$$

そもそも割る意味がない計算ですよね。

算数的な理解なら、\(0\)で割れない理由はこれでOKだと思います。

割り算の定義から考える0で割れない理由

次にもう少し数学寄りな考え方で、\(0\)で割れない理由を考えてみます。

分母に\(0\)を置いてはいけない理由と言い換えることもできます。

 

そもそも、割り算の定義を簡単に書くと「割る数の逆数を掛ける」です。

例えば、\(6\div2\)みたいな簡単な割り算でも、定義通りに計算すると、

$$6\div2=6\times\displaystyle \frac{1}{2}=3$$となります。

逆数とは?

逆数とは、「掛けると\(1\)になる数」のこと

例えば、\(\displaystyle \frac{2}{5}\)なら\(\displaystyle \frac{5}{2}\)

\(3\)なら\(\displaystyle \frac{1}{3}\)と言った具合です。

逆数のより詳しい解説は参考記事をご覧ください。

 

では、\(0\)の逆数は何になるのでしょうか・・・

答えは、\(0\)に逆数は存在しない。です。

\(0\)には何を掛けても\(0\)になるため、掛けると\(1\)になる数が存在しないのです。

 

割り算は割る数の逆数を掛ける計算なのに、逆数が存在しないため、0で割る行為が数学では禁止されています。では、もし\(0\)で割れるとしたらどうなるのか。

数学的な矛盾が発生するので、最後にそちらを解説していきます。

仮に0で割れると考えてみる

大前提として、数学は計算方法によって答えが変わることはありません。

全く矛盾が出ないのが数学です。

Aの方法で問題を解いたら答えが\(2\)になったけど、Bで解いたら答えが\(8\)になったよ!ってなことは基本的にはありません。

\(1=2\)にもなりません!

それを踏まえた上で「仮に\(0\)で割れるとどうなるか」考えてみましょう。

\(1=2\)があり得る数学の誕生

もし\(0\)で割ることができたら\(1=2\)があり得る数学が誕生して、矛盾だらけになってしまいます。

ここでは\(0\)の逆数を\(\displaystyle \frac{1}{0}\)として、\(\div0=\times \displaystyle \frac{1}{0}\)とおいて計算していきます。

もちろん\(\displaystyle \frac{1}{0}\)は\(0\)の逆数なので、\(0\times \displaystyle \frac{1}{0}=1\)と仮定します。

\begin{eqnarray} 0 &=& 0+0 \\
0\div0 &=& (0+0)\div0\\
0\times \displaystyle \frac{1}{0}&=&(0+0)\times \displaystyle \frac{1}{0}\\
1&=&1+1\\
1&=&2 \end{eqnarray}

この様に\(0\)で割れると仮定すると、\(0\)の逆数が存在することになり、結果として\(1=2\)という式が生まれてしまいます。

これは明らかに矛盾しているので、\(0\)で割る行為は数学では禁止されているのです。

0で割るのが禁止されている理由|まとめ

0で割るのが数学で禁止されている理由について解説しました。

  • リンゴを\(0\)人で分けることになるから
  • 割るは逆数を掛けることだが、\(0\)の逆数は存在しないから
  • \(0\)の逆数を認めると、\(1=2\)が成り立ってしまうから

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