二次方程式の解の公式を証明|分かりやすい解説

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二次方程式にはいくつか解き方がありますが、最も使いやすく、なんでも解けるのが解の公式です。

解の公式

\(ax^2+bx+c=0\)のとき、
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

この記事では解の公式の証明と、使い方を解説します。

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解の公式証明

\(ax^2+bx+c=0\)のときの\(x\)を求めていきます。

二次方程式そのものが苦手って方は、まずこちらの記事を読んでみてくださいね。

1記事で分かる初めての【二次方程式】| 文系OK
中学数学の難敵の1つに二次方程式があります。 なぜ難敵かと言うと、中学で習う「代数」の頂点に位置するからです。代数っていうのは「正の数・負の数」や「分配法則」、「平方根」、「文字式」に「方程式」といった、聞くだけで嫌になるような単元達...

まずは両辺を\(a\)で割って、\(x^2\)の形を作ります。

$$\begin{eqnarray}
(ax^2+bx+c)\times\frac{1}{a} &=&0\times\frac{1}{a}\\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} &=&0 \end{eqnarray}$$

次に、\((x+□)^2\)の形を作ります。□に入るのは\(x\)がついている数を半分にしたものです。今回の場合は\(□=\frac{b}{2a}\)となります。

 

ワンポイント解説

 

ここでは、
$$x^2+\frac{b}{a}x\ を\ (x+\frac{b}{2a})^2$$
にしたいのですが、計算してみると、

$$\begin{eqnarray}
&\ &(x+\frac{b}{2a})^2\\
&=&(x^2+\frac{b}{a}x)+\frac{b^2}{4a^2}  \end{eqnarray}$$

となります。なので、都合の悪い部分を引いてあげる必要がありあます。つまり、

$$x^2+\frac{b}{a}x=(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}$$

要するに変形は以下のようになります。

$$\begin{eqnarray}
&\ &x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \\
&=& (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\\
&=&(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}
\end{eqnarray}$$

なんとなく解の公式に近づいてきた感じがしますね。

元々の数式は\(ax^2+bx+c=0\)なので、上で計算した式と\(0\)をイコールで結びます。

そこから\(x=□\)の形にすると証明完了です。

$$\begin{eqnarray}
(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2} &=& 0\\
(x+\frac{b}{2a})^2 &=& \frac{b^2-4ac}{4a^2}\\
x+\frac{b}{2a}&=&\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x&=&-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x&=&\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{eqnarray}$$

となって証明完了です。

二次方程式の解の公式の使い方

では二次方程式の解の公式の使い方です。これはものすごく簡単です!なんと当てはめるだけ。

例題

$$3x^2+6x-6=0$$

解の公式に当てはめるだけで解いてみましょう!

例題の式を\(ax^2+bx+c\)に当てはめると、
$$a=3,\ b=6,\ c=-6$$
です。これを解の公式に当てはめましょう。

$$\begin{eqnarray}
x &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&=& \frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times3\times(-6)}}{2\times3}\\
&=& \frac{-6\pm\sqrt{36+72}}{6}\\
&=&\frac{-6\pm 6\sqrt{3}}{6}\\
&=&-1\pm\sqrt{3}\end{eqnarray}$$

つまり答えは\(-1\pm\sqrt{3}\)です。

こんなルートを含むような答えも一発で出せるのが解の公式です!

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