二次方程式にはいくつか解き方がありますが、最も使いやすく、なんでも解けるのが解の公式です。
この記事では解の公式の証明について解説していきます。
解の公式とは
解の公式とは下記の式で表される、二次方程式のxを求める公式のことです。
\(ax^2+bx+c=0\)のとき、
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
解の公式の証明
\(ax^2+bx+c=0\)のときの\(x\)を求めていきます。
二次方程式そのものが苦手って方は、まずこちらの記事を読んでみてくださいね。
https://rikeinvest.com/math/niji-hoteishiki/
まずは両辺を\(a\)で割って、\(x^2\)の形を作ります。
$$\begin{eqnarray}
(ax^2+bx+c)\times\frac{1}{a} &=&0\times\frac{1}{a}\\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} &=&0 \end{eqnarray}$$
次に、\((x+□)^2\)の形を作ります。□に入るのは\(x\)がついている数を半分にしたものです。今回の場合は\(□=\frac{b}{2a}\)となります。
ここでは、
$$x^2+\frac{b}{a}x\ を\ (x+\frac{b}{2a})^2$$
にしたいのですが、計算してみると、
$$\begin{eqnarray}
&\ &(x+\frac{b}{2a})^2\\
&=&(x^2+\frac{b}{a}x)+\frac{b^2}{4a^2} \end{eqnarray}$$
となります。なので、都合の悪い部分を引いてあげる必要がありあます。つまり、
$$x^2+\frac{b}{a}x=(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}$$
要するに変形は以下のようになります。
$$\begin{eqnarray}
&\ &x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \\
&=& (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\\
&=&(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}
\end{eqnarray}$$
なんとなく解の公式に近づいてきた感じがしますね。
元々の数式は\(ax^2+bx+c=0\)なので、上で計算した式と\(0\)をイコールで結びます。
そこから\(x=□\)の形にすると証明完了です。
$$\begin{eqnarray}
(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2} &=& 0\\
(x+\frac{b}{2a})^2 &=& \frac{b^2-4ac}{4a^2}\\
x+\frac{b}{2a}&=&\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x&=&-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x&=&\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{eqnarray}$$
となって証明完了です。
二次方程式の解の公式の使い方
では二次方程式の解の公式の使い方です。これはものすごく簡単です！なんと当てはめるだけ。
$$3x^2+6x-6=0$$
解の公式に当てはめるだけで解いてみましょう！
例題の式を\(ax^2+bx+c\)に当てはめると、
$$a=3,\ b=6,\ c=-6$$
です。これを解の公式に当てはめましょう。
$$\begin{eqnarray}
x &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&=& \frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times3\times(-6)}}{2\times3}\\
&=& \frac{-6\pm\sqrt{36+72}}{6}\\
&=&\frac{-6\pm 6\sqrt{3}}{6}\\
&=&-1\pm\sqrt{3}\end{eqnarray}$$
つまり答えは\(-1\pm\sqrt{3}\)です。
こんなルートを含むような答えも一発で出せるのが解の公式です！
コメント