三角関数表のタンジェント表におけるtan23°|マクローリン展開で解く

今回は、tan 23° = 0.424474…を求める手法について説明します。

θ30°45°60°90°
y0\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)1\(\sqrt{3}\)

表で表す通り、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が計算できます。
しかし、中途半端なθ=1°だと求めるのが難しいです。

本記事では、tan 23° = 0.424474…を計算する方法を説明します。

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10位目までtan 23°を確認

唐突ではありますが、tan 23°を10桁確認してみましょう!$$\tan 23° = 0.4244748162\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 23° = 0.424474…を明らかにする

tan 23° = 0.424474…を求めるためにマクローリン展開を駆使します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインが求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 23°=0.401425…$$ $$\sin 23° = 0.390731…$$
$$\cos 23° = 0.920504…$$

これを利用して、$\tan 23° = \displaystyle \frac{\sin 23°}{\cos 23°}$からtanを算出できます。

$$\tan 23° = 0.424474…$$

tan 23°の解説動画

本記事で明らかにした内容を120秒で復習できる動画を用意しました。

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