今回は、tan 23° = 0.424474…を求める手法について説明します。
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
表で表す通り、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が計算できます。
しかし、中途半端なθ=1°だと求めるのが難しいです。
本記事では、tan 23° = 0.424474…を計算する方法を説明します。
10位目までtan 23°を確認
唐突ではありますが、tan 23°を10桁確認してみましょう！$$\tan 23° = 0.4244748162\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 23° = 0.424474…を明らかにする
tan 23° = 0.424474…を求めるためにマクローリン展開を駆使します。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインが求まります。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 23°=0.401425…$$ $$\sin 23° = 0.390731…$$
$$\cos 23° = 0.920504…$$
これを利用して、$\tan 23° = \displaystyle \frac{\sin 23°}{\cos 23°}$からtanを算出できます。
$$\tan 23° = 0.424474…$$
tan 23°の解説動画
本記事で明らかにした内容を120秒で復習できる動画を用意しました。
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