今回は、tan 26° = 0.487732…を算出する仕方について明らかにしていきます。
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
表で表す通り、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が求まります。
ですが、 θ=1°だと求めるのが非常に大変です
本記事では、tan 26° = 0.487732…になる理由を紹介します。
10位目までtan 26°を表す
唐突ではありますが、tan 26°を10桁書いてみましょう！$$\tan 26° = 0.4877325885\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 26° = 0.487732…を明らかにする
tan 26° = 0.487732…を求めるためにマクローリン展開を使います。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインを算出できます。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 26°=0.453785…$$ $$\sin 26° = 0.438371…$$
$$\cos 26° = 0.898794…$$
サインとコサインを使って$\tan 26° = \displaystyle \frac{\sin 26°}{\cos 26°}$からtanを解くことができます。
$$\tan 26° = 0.487732…$$
tan 26°｜120秒の復習動画
本記事で解説した内容を120秒で振り返ることができる動画を準備しました。
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